【題目】已知圓C:(xa2+y224a0)及直線lxy+30.當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為時(shí),求

(Ⅰ)a的值;

(Ⅱ)求過(guò)點(diǎn)(35)并與圓C相切的切線方程.

【答案】(Ⅰ)a1;(Ⅱ)5x12y+450x3

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)圓的方程找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑,然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d,然后根據(jù)垂徑定理得到弦心距,弦的一半及圓的半徑成直角三角形,利用勾股對(duì)了列出關(guān)于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,然后由a大于0,得到滿足題意a的值;

(Ⅱ)把(Ⅰ)求出a的值代入圓的方程中確定出圓的方程,即可得到圓心的坐標(biāo),并判斷得到已知點(diǎn)在圓外,分兩種情況:當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),得到x3為圓的切線;當(dāng)切線的斜率存在時(shí),設(shè)切線的斜率為k,由(3,5)和設(shè)出的k寫(xiě)出切線的方程,根據(jù)直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于圓的半徑,利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,讓d等于圓的半徑即可列出關(guān)于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,把k的值代入所設(shè)的切線方程即可確定出切線的方程.綜上,得到所有滿足題意的切線的方程.

解:(Ⅰ)依題意可得圓心Ca,2),半徑r2,

則圓心到直線lxy+30的距離

由勾股定理可知,代入化簡(jiǎn)得|a+1|2

解得a1a=﹣3,

a0,所以a1;

(Ⅱ)由(1)知圓C:(x12+y224,圓心坐標(biāo)為(12),圓的半徑r2

由(35)到圓心的距離為r2,得到(3,5)在圓外,

當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí),設(shè)方程為y5kx3

由圓心到切線的距離dr2,

化簡(jiǎn)得:12k5,可解得,

∴切線方程為5x12y+450

當(dāng)過(guò)(3,5)斜率不存在直線方程為x3與圓相切.

①②可知切線方程為5x12y+450x3

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