Question

【題目】（本小題滿分10分） 選修4-4：極坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)．以極點(diǎn)為原點(diǎn)，以極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系．斜率為的直線過點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；

（Ⅱ）求點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

【答案】（1），；（2）2．

【解析】試題分析：（1）對兩邊乘以，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為，按照直線參數(shù)方程的概念，有直線的參數(shù)方程為；（2）聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，得，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，有.

試題解析：

（1）， ，由得．

所以，即為曲線C的直角坐標(biāo)方程；點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，

直線l的傾斜角為故直線l的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)）即（t為參數(shù)）

（2）把直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）代入曲線C的方程得

，即， ，

設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為，則

又直線l經(jīng)過點(diǎn)M，故由t的幾何意義得

點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積