【題目】設(shè)函數(shù) (x∈R),其中t∈R,將f(x)的最小值記為g(t).
(1)求g(t)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)﹣1≤t≤1時(shí),要使關(guān)于t的方程g(t)=kt有且僅有一個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍
【答案】
(1)解:由已知有: =sin2x﹣2tsinx+2t2﹣6t+1=(sinx﹣t)2+t2﹣6t+1,
由于x∈R,∴﹣1≤sinx≤1,
∴當(dāng)t<﹣1時(shí),則當(dāng)sinx=﹣1時(shí),f(x)min=2t2﹣4t+2;
當(dāng)﹣1≤t≤1時(shí),則當(dāng)sinx=t時(shí),f(x)min=t2﹣6t+1;
當(dāng)t>1時(shí),則當(dāng)sinx=1時(shí),f(x)min=2t2﹣8t+2;
綜上,
(2)解:當(dāng)﹣1≤t≤1時(shí),g(t)=t2﹣6t+1,方程g(t)=kt即t2﹣6t+1=kt,
即方程t2﹣(k+6)t+1=0在區(qū)間[﹣1,1]有且僅有一個(gè)實(shí)根,
令q(t)=t2﹣(k+6)t+1,則有:
①若△=(k+6)2﹣4=0,即k=﹣4或k=﹣8.
當(dāng)k=﹣4時(shí),方程有重根t=1;當(dāng)k=﹣8時(shí),c方程有重根t=﹣1,∴k=﹣4或k=﹣8.
② k<﹣8或 k>﹣4,
綜上,當(dāng)k∈(﹣∞,﹣8]∪[﹣4,+∞)時(shí),關(guān)于t的方程g(t)=kt在區(qū)間[﹣1,1]有且僅有一個(gè)實(shí)根
【解析】(1)首先對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行化簡(jiǎn)整理,進(jìn)而看當(dāng)t<﹣1,﹣1≤t≤1和t>1時(shí)時(shí)函數(shù)f(x)的最小值,進(jìn)而確定g(t)的解析式.(2)根據(jù)(1)可知當(dāng)﹣1≤t≤1時(shí)函數(shù)g(t)的解析式,整理g(t)=kt得t2﹣(k+6)t+1=0問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[﹣1,1]有且僅有一個(gè)實(shí)根,先根據(jù)判別式等于0求得k的值,令q(t)=t2﹣(k+6)t+1,進(jìn)而確定函數(shù)與x軸的軸有一個(gè)交點(diǎn)落在區(qū)間[﹣1,1]分別求得k的范圍,最后綜合可得答案.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(小)值;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=x2+ex﹣ (x<0)與g(x)=x2+ln(x+a)圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),則a的取值范圍是( )
A.(﹣ )
B.( )
C.( )
D.( )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知: 、 、 是同一平面上的三個(gè)向量,其中 =(1,2).
(1)若| |=2 ,且 ∥ ,求 的坐標(biāo).
(2)若| |= ,且 +2 與2 ﹣ 垂直,求 與 的夾角θ
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx﹣cosx)+1,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移 個(gè)單位后,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)的最大值及取得最大值時(shí)的x的集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若直線m被兩平行線l1:x+y=0與l2:x+y+ =0所截得的線段的長(zhǎng)為2 ,則m的傾斜角可以是
①15° ②45° ③60° ④105°⑤120° ⑥165°
其中正確答案的序號(hào)是 . (寫出所有正確答案的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域?yàn)閇0,+∞),若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m,m+6),則實(shí)數(shù)c的值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分) 選修4-4:極坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn).以極點(diǎn)為原點(diǎn),以極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系.斜率為的直線過點(diǎn),且與曲線交于兩點(diǎn).
(Ⅰ)求出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程;
(Ⅱ)求點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,且橢圓經(jīng)過點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),點(diǎn)是線段上的點(diǎn),且,求點(diǎn)的軌跡方程.
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