Question

本題滿分15分）已知函數(shù)，.
(Ⅰ)當(dāng)時，求函數(shù)的極值點；
(Ⅱ)若函數(shù)在導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間上也是單調(diào)的，求的取值范圍；
(Ⅲ) 當(dāng)時，設(shè)，且是函數(shù)的極值點，證明：.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ) 或 (Ⅲ)見解析

試題分析：(Ⅰ)當(dāng)時， （），
令，
解得(舍)， ，                                 ……1分
容易判斷出函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間，+∞)上單調(diào)遞增
……2分
∴在時取極小值.                                      ……4分
(Ⅱ)解法一：                        ……5分
令，
，設(shè)的兩根為 ，
1⁰當(dāng)即，≥0，∴單調(diào)遞增，滿足題意.         ……6分
2⁰當(dāng)即或時,
(1)若，則,即時,
在上遞減，上遞增，,
 ∴在(0，+∞)單調(diào)增，不合題意.          ……7分
(2)若 則,即時在(0，+∞)上單調(diào)增，滿足題意.
……8分
(3) 若則 即a>2時
∴在(0，)上單調(diào)遞增，在(，)上單調(diào)遞減，在(，+∞)上單調(diào)遞增，
不合題意.                                                             ……9分
綜上得或.                                            ……10分
解法二： ,                                  ……5分
令，，
設(shè)的兩根 
1⁰當(dāng)即，≥0，∴單調(diào)遞增，滿足題意.           ……6分
2⁰當(dāng)即或時,
(1)當(dāng) 若，即時,,
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ，
∴ 在(0，+∞)單調(diào)增不合題意.           ……7分
若 ，即時， f(x)在(0，+∞)上單調(diào)增，滿足題意.
……8分
(2)當(dāng)時，，
∴f(x)在(0，x₁)單調(diào)增，(x₁，x₂)單調(diào)減，(x₂，+∞)單調(diào)增，不合題意      ……9分
綜上得或.                                           ……10分
（Ⅲ)，             
令，即，當(dāng)時，，
所以，方程有兩個不相等的正根，
不妨設(shè)，則當(dāng)，＜0，
當(dāng)時，＞0，                                        ……11分   所以，有極小值點和極大值點，且，．


．                        ……13分
令，，
則當(dāng)時，＝－＝＜0，在)單調(diào)遞減，……14分所以即                 ……15分
點評：新課標(biāo)對有關(guān)函數(shù)的綜合題的考查，重在對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識理解的準確性、深刻性，重在與方程、不等式等相關(guān)知識的相互聯(lián)系，要求學(xué)生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力以及較強的運算能力，體現(xiàn)了以函數(shù)為載體，多種能力同時考查的命題思想.