Question

已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時，證明：；

（2）若，求k的取值范圍.

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）(－∞，0].

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、不等式的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力，考查學(xué)生的函數(shù)思想.第一問，先將轉(zhuǎn)化為，先得到表達(dá)式，對求導(dǎo)，利用“單調(diào)遞增；單調(diào)遞減”解不等式求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性確定最小值所在的位置；第二問，將轉(zhuǎn)化為，令F(x)＝f(x)－g(x)對f(x)求導(dǎo)，由于的正負(fù)不明顯，所以進(jìn)行二次求導(dǎo)，二次求導(dǎo)后得到G?(x)＝ex－k，只需討論k的正負(fù)，通過的單調(diào)性，求出的最值，來判斷的正負(fù)，來判斷的單調(diào)性，從而求的最值.

（1）當(dāng)k＝1時，設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)＋＝ex－x－1，h?(x)＝ex－1． 1分

當(dāng)x∈(－∞，0)時，h?(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(0，＋∞)時，h?(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增．

所以h(x)≥h(0)＝0．

故f(x)≥g(x)－． 4分

（2）設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x2－x－1，則F?(x)＝ex－kx－1．

設(shè)G(x)＝ex－kx－1，則G?(x)＝ex－k． 6分

（1）若k≤0時，則G?(x)＞0，G(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(－∞，0)時，G(x)＜G(0)＝0，即F?(x)＜0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(0，＋∞)時，G(x)＞G(0)＝0，即F?(x)＞0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增．

故F(x)≥F(0)＝0，此時f(x)≥g(x)． 9分

（2）若k＞0，則

當(dāng)x∈(－∞，－)時，ex－1＜0，－x2－x＝－x(kx＋2)＜0，

從而F(x)＝ex－1－x2－x＜0，這時f(x)≥g(x)不成立． 11分

綜上，k的取值范圍是(－∞，0]． 12分

考點：導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、不等式的基本性質(zhì).