Question

設(shè)函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求函數(shù)的極值點(diǎn).

（3）設(shè)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，的圖象與軸交于兩點(diǎn),且，中點(diǎn)為，

求證：．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求,在上恒成立，反解參數(shù),轉(zhuǎn)化成恒成立問題，利用基本不等式求的最小值問題；

（2）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719161703588330/SYS201411171916328332155706_DA/SYS201411171916328332155706_DA.008.png">,所以設(shè),分情況討論在不同情況下，的根，通過來討論，主要分以及的情況，求出導(dǎo)數(shù)為0的值，判斷兩側(cè)的單調(diào)性是否改變，從而確定極值點(diǎn)；

（3）,兩式相減，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，,表示出,設(shè)出的能表示正負(fù)的部分函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，從而確定.

試題解析：（1）

依題意得，在區(qū)間上不等式恒成立.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719161703588330/SYS201411171916328332155706_DA/SYS201411171916328332155706_DA.023.png">，所以.所以，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. 2分

（2），令

①顯然，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，這時(shí)，此時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)； ..3分

②當(dāng)時(shí)，

（�。┊�(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，這時(shí)，此時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)； .4分

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，

易知，當(dāng)時(shí)，，這時(shí)；

當(dāng)或時(shí)，，這時(shí)；

所以，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)； .6分

當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn). 8分

（Ⅲ）由已知得兩式相減，

得： ①

由，得 ②得①代入②，得

= 10分

令且

在上遞減， 12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合性問題