Question

【題目】已知二次函數(shù)的最小值為，且.

（1）求的解析式；

（2）若在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，試確定實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3) .

【解析】試題分析: (1)由, 根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得函數(shù)的對稱軸,又已知函數(shù)的最小值,可設(shè)二次函數(shù)的頂點式,再，得值,可得二次函數(shù);(2)二次函數(shù)在區(qū)間不單調(diào),則對稱軸方程在此區(qū)間內(nèi),可得關(guān)于的不等式,解不等式即可;(3)將圖像問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,即在區(qū)間上恒成立,再進一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值大于的問題.可得的范圍.

試題解析: (1)，故二次函數(shù)關(guān)于直線對稱，又由二次函數(shù)的最小值為，故可設(shè) ，由，得，故.

(2)要使函數(shù)不單調(diào)，則，則.

(3)若在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，即在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，設(shè)，則只要，而，得.

點睛:求二次函數(shù)的解析式的三種方式實質(zhì)是特定系數(shù)法,其解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件正確地列出含有待定系數(shù)的等式,把具有某種確定形式的數(shù)學問題通過引入一些待定的系數(shù),轉(zhuǎn)化為方程來解決.(1)一般式法:已知三點一般設(shè)為標準式,即;(2)交點式法:已知與軸的交點坐標為,一般設(shè)為;(3)頂點式法:已知頂點坐標為,可以設(shè)頂點為.