Question

【題目】選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線，以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線．

（1）將曲線上的所有點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的、2倍后得到曲線，試寫出直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；

（2）在曲線上求一點P，使點P到直線的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

【答案】（1）直線：，曲線：；（2）點P（），此時．

【解析】

試題分析：（1）由公式可化直線的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，設(shè)曲線點坐標(biāo)為與之對應(yīng)的曲線上的點為，則，解得代入曲線的方程可得方程；（2）由參數(shù)方程要設(shè)設(shè)點P的坐標(biāo)，由點P到直線的距離公式求得距離，由兩角和與差的正弦公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)可得最大值．

試題解析：（1） 由題意知，直線的直角坐標(biāo)方程為：，

∵曲線的直角坐標(biāo)方程為：，

∴曲線的參數(shù)方程為：．

（2）設(shè)點P的坐標(biāo)，則點P到直線的距離為：

，

∴當(dāng)sin（600－θ）=-1時，點P（），此時．