【題目】已知四棱錐中,底面為矩形,且,,若平面,,分別是線段,的中點.
(1)證明:;
(2)在線段上是否存在點,使得平面?若存在,確定點的位置:若不存在,說明理由;
(3)若與平面所成的角為45°,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)存在,為的一個四等分點(靠近點)時,平面;(3).
【解析】
(1)連接,利用勾股定理,證得,利用線面垂直的判定定理證得平面,即可證得;
(2)過點作交于點,利用面面平行的判定定理,證得平面平面,得到平面,即可得到結論;
(3)取的中點,連接,過點作于點,連接,得到則平面,得出為二面角的平面角,直角中,即可求解.
(1)連接,則,,又,
由,所以,
又由平面,則,
又由,所以平面,
又因為平面,所以.
(2)過點作交于點,則平面,且有,
再過點作交于點,連接,則平面且,
所以平面平面,又由平面,所以平面,
所以當為的一個四等分點(靠近點)時,使得平面.
(3)因為平面,
所以是與平面所成的角,且,所以,
取的中點,連接,則,平面,所以,
在平面中,過點作于點,連接,則平面,
則為二面角的平面角,
因為,所以,
因為,,,且,
所以,,
在直角中,,
故二面角的余弦值為.
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【題目】已知定義在上的偶函數和奇函數,且.
(1)求函數,的解析式;
(2)設函數,記(,).探究是否存在正整數,使得對任意的,不等式恒成立?若存在,求出所有滿足條件的正整數的值;若不存在,請說明理由.
參考結論:設均為常數,函數的圖象關于點對稱的充要條件是.
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【題目】設數列的前項和,已知,.
(1)求證:數列為等差數列,并求出其通項公式;
(2)設,又對一切恒成立,求實數的取值范圍;
(3)已知為正整數且,數列共有項,設,又,求的所有可能取值.
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【題目】如圖,圓:.
(Ⅰ)若圓C與x軸相切,求圓C的方程;
(Ⅱ)已知,圓與x軸相交于兩點(點在點的左側).過點任作一條直線與圓:相交于兩點A,B.問:是否存在實數a,使得=?若存在,求出實數a的值,若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,AOB是一塊半徑為r的扇形空地,.某單位計劃在空地上修建一個矩形的活動場地OCDE及一矩形停車場EFGH,剩余的地方進行綠化.若,設
(Ⅰ)記活動場地與停車場占地總面積為,求的表達式;
(Ⅱ)當為何值時,可使活動場地與停車場占地總面積最大.
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【題目】某城市為鼓勵人們綠色出行,乘坐地鐵,地鐵公司決定按照乘客經過地鐵站的數量實施分段優(yōu)惠政策,不超過站的地鐵票價如下表:
乘坐站數 | |||
票價(元) |
現有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵,已知他們乘坐地鐵都不超過站,且他們各自在每個站下車的可能性是相同的.
(1)若甲、乙兩人共付費元,則甲、乙下車方案共有多少種?
(2)若甲、乙兩人共付費元,求甲比乙先到達目的地的概率.
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