【題目】已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且.

（1）求函數(shù),的解析式；

（2）設(shè)函數(shù),記（,）.探究是否存在正整數(shù),使得對(duì)任意的,不等式恒成立？若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考結(jié)論：設(shè)均為常數(shù),函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的充要條件是.

【答案】（1）,.（2）存在,.

【解析】

（1）用替換后,根據(jù)題中奇偶性,利用奇偶性性質(zhì)得到方程組,即可解得答案。

（2）表達(dá)式中分子分母中的自變量格式統(tǒng)一,故可看作是平移后所得,找出其原函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)奇偶性判斷得到的奇偶性,從而得到對(duì)稱(chēng)性,再反推得到的對(duì)稱(chēng)情況,利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到函數(shù)的表達(dá)式,再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法得到最小值,借此得到的取值范圍,再根據(jù)題目所給條件即可鎖定的取值。

解：（1）∵,

∴.

又為偶函數(shù),為奇函數(shù),

∴,

,

∴,.

（2）存在滿足條件的正整數(shù)n.

由題意可知：為奇函數(shù),其圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng),

∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng),

即對(duì),.

∵,

∴.

兩式相加,得

,

即.

∴.

由,

得,.

∵,

∴,

由此可得恒成立.

即對(duì)任意的恒成立.

令,,,則,

,,且,

則

∵,,∴.

則在上單調(diào)遞增,

∴在上單調(diào)遞增,

∴

∴.

又由已知,,

∴

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】類(lèi)似于平面直角坐標(biāo)系，我們可以定義平面斜坐標(biāo)系：設(shè)數(shù)軸的交點(diǎn)為，與軸正方向同向的單位向量分別是，且與的夾角為，其中。由平面向量基本定理，對(duì)于平面內(nèi)的向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，把叫做點(diǎn)在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，也叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。在平面斜坐標(biāo)系內(nèi)，直線的方向向量、法向量、點(diǎn)方向式方程、一般式方程等概念與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)相應(yīng)概念以相同方式定義，如時(shí)，方程表示斜坐標(biāo)系內(nèi)一條過(guò)點(diǎn)(2,1)，且方向向量為(4,-5)的直線。

（1）若， ，且與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）若，已知點(diǎn)和直線 ①求l的一個(gè)法向量；②求點(diǎn)A到直線l的距離。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷的奇偶性，并證明；

（2）用定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減；

（3）若，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長(zhǎng)為2，寬為1， ， 邊分別在軸、軸的正半軸上， 點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上，設(shè)此點(diǎn)為.

（1）若折痕的斜率為-1，求折痕所在的直線的方程；

（2）若折痕所在直線的斜率為，（ 為常數(shù)），試用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，并求折痕所在的直線的方程；

（3）當(dāng)時(shí)，求折痕長(zhǎng)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓：與直線：，動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn).

（1）若直線與圓相切，求直線的方程；

（2）若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)N．探索是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《數(shù)書(shū)九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊、、，求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是“以小斜冥并大斜冥減中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開(kāi)平方得積”若把以上這段文字寫(xiě)出公式，即若，則．

（1）已知的三邊，，，且，求證：的面積．

（2）若，，求的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)方式為：弧田面積=，弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”指半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差。現(xiàn)有圓心角為，半徑等于4米的弧田.下列說(shuō)法不正確的是（ ）

A. “弦”米，“矢”米

B. 按照經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積（）平方米

C. 按照弓形的面積計(jì)算實(shí)際面積為（）平方米

D. 按照經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積比實(shí)際面積少算了大約0.9平方米（參考數(shù)據(jù) )

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知四棱錐中，底面為矩形，且，，若平面，，分別是線段，的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，確定點(diǎn)的位置：若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若與平面所成的角為45°，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖,設(shè)點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，圓過(guò)且斜率為的直線交圓于兩點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn)，已知當(dāng)時(shí)，

（1）求橢圓的方程.

（2）當(dāng)時(shí)，求的面積.

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