【題目】如圖：在三棱錐中，，是直角三角形，，

，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的大小；

（3）求二面角的正切值.

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo).（1）計(jì)算，可得兩直線垂直；（2）計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量，可求得線面角的余弦值，用反三角函數(shù)表示出這個(gè)角的大小；（3）分別求出平面，平面的法向量，利用法向量求兩個(gè)平面所成角的余弦值，然后轉(zhuǎn)化為正切值.

試題解析：

解法一（1）連接。在中，.

，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴.

又，即為在平面內(nèi)的射影，∴.

分別為的中點(diǎn)，

∴，

∴.

（2），∴.

連結(jié)交于點(diǎn)，，∴，

∴為直線與平面所成的角，.

，∴，又，

∴.，∴，

∴在中，，∴，

即直線與平面所成角的大小為.

（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，，

∴，即為在平面內(nèi)的射影，

，∴為二面角的平面角.

∴中，，

∴，即二面角的正切值為.

解法二 建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

則.

（1）∴，

∴，

∴.

（2）由已知可得，為平面的法向量，，

∴，

∴直線與面所成角的正弦值為.

∴直線與面所成角的為.

（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

∴，

∴，令，

∴.

由已知可得，向量為平面的一個(gè)法向量，

∴，

∴.

∴二面角的正切值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）若， ，且與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

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所掛重量（）（x）

1

2

3

5

7

9

彈簧長(zhǎng)度（）（y）

11

12

12

13

14

16

（1）請(qǐng)?jiān)谙聢D坐標(biāo)系中畫出上表所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）若彈簧長(zhǎng)度與所掛物體重量之間的關(guān)系具有線性相關(guān)性，請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

（3）根據(jù)回歸方程，求掛重量為的物體時(shí)彈簧的長(zhǎng)度.所求得的長(zhǎng)度是彈簧的實(shí)際長(zhǎng)度嗎？為什么？

注：本題中的計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位.

（參考公式：，）

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（2）若折痕所在直線的斜率為，（ 為常數(shù)），試用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，并求折痕所在的直線的方程；

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（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，確定點(diǎn)的位置：若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若與平面所成的角為45°，求二面角的余弦值．

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