已知函數(shù),.(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)設(shè)曲線在處的切線與直線垂直,求的值;
(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)≥0,恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),是否存在實(shí)數(shù),使曲線C:在點(diǎn)處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1)=-1 (2) (3)不存在
解析試題分析:(1), 因此在處的切線的斜率為,
又直線的斜率為, ∴()=-1,∴ =-1.
(2)∵當(dāng)≥0時(shí),恒成立,
∴ 先考慮=0,此時(shí),,可為任意實(shí)數(shù);
又當(dāng)>0時(shí),恒成立,
則恒成立, 設(shè)=,則=,
當(dāng)∈(0,1)時(shí),>0,在(0,1)上單調(diào)遞增,
當(dāng)∈(1,+∞)時(shí),<0,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
故當(dāng)=1時(shí),取得極大值,, ∴ 實(shí)數(shù)的取值范圍為.
(3)依題意,曲線C的方程為,
令=,則
直. 設(shè),則,
當(dāng),,故在上的最小值為,
所以≥0,又,∴>0,
而若曲線C:在點(diǎn)處的切線與軸垂直,則=0,矛盾。
所以,不存在實(shí)數(shù),使曲線C:在點(diǎn)處的切線與軸垂
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;兩條直線垂直的判定.
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率,掌握兩條直線垂直的判定,掌握導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值中的運(yùn)用,是一道中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)
求及的單調(diào)區(qū)間
設(shè), 兩點(diǎn)連線的斜率為,問是否存在常數(shù),且,當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí)有;若存在,求出,并證明之,若不存在說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)若存在函數(shù)使得恒成立,則稱是的一個(gè)“下界函數(shù)”.
(I) 如果函數(shù)為實(shí)數(shù)為的一個(gè)“下界函數(shù)”,求的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù) 試問函數(shù)是否存在零點(diǎn),若存在,求出零點(diǎn)個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)直線為曲線的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)(,b∈Z),曲線在點(diǎn)(2,)處的切線方程為=3.
(1)求的解析式;
(2)證明:曲線=上任一點(diǎn)的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值,并求出此定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù);
(1)若在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的值;
(2)當(dāng)時(shí),求證:當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中。
(1)若函數(shù)有極值,求的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),求的取值范圍;
(3)證明:
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