Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+alnx的定義域是D，關(guān)于函數(shù)f（x）給出下列命題：
①對(duì)于任意a∈（0，+∞），函數(shù)f（x）是D上的減函數(shù)；
②對(duì)于任意a∈（-∞，0），函數(shù)f（x）存在最小值；
③存在a∈（0，+∞），使得對(duì)于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（-∞，0），使得函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的序號(hào)是（　�。�

• A、①②
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求導(dǎo)數(shù)，若為減函數(shù)則導(dǎo)數(shù)恒小于零；在開區(qū)間上，若有最小值則有唯一的極小值，若有零點(diǎn)則對(duì)應(yīng)方程有根

解答： 解：由對(duì)數(shù)函數(shù)知：函數(shù)的定義域?yàn)椋海?，+∞），
f′（x）=e^x+

a

x

，
①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=e^x+

a

x

≥0，f（x）是增函數(shù)．故①不正確；
②∵a∈（-∞，0），∴存在x有f′（x）=e^x+

a

x

=0，可以判斷函數(shù)有最小值，故②正確；
③畫出函數(shù)y=e^x，y=alnx（a＞0）的圖象，x可取（0，1）內(nèi)的一個(gè)數(shù)f（x）＜0，故③不正確；
④函數(shù)y=e^x是增函數(shù)，a＜0時(shí)，y=alnx是減函數(shù)，所以存在a∈（-∞，0），由圖可讓a的絕對(duì)值較大，
f（x）=e^x+alnx=0有兩個(gè)根，故④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題，注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法，是一道中檔題．