Question

已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，．

（1）記函數(shù)，且，求的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若對(duì)任意，，均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）的單調(diào)增區(qū)間為和；（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，去掉絕對(duì)值符號(hào)，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032806004729635918/SYS201503280600525621979599_DA/SYS201503280600525621979599_DA.005.png">，

所以，

令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032806004729635918/SYS201503280600525621979599_DA/SYS201503280600525621979599_DA.008.png">，得或，

所以的單調(diào)增區(qū)間為和；

（2）因?yàn)閷?duì)任意且，均有成立，

不妨設(shè)，根據(jù)在上單調(diào)遞增，

所以有對(duì)恒成立，

所以對(duì)，恒成立，

即對(duì)，恒成立，

所以和在都是單調(diào)遞增函數(shù)，

當(dāng)在上恒成立，

得在恒成立，得在恒成立，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032806004729635918/SYS201503280600525621979599_DA/SYS201503280600525621979599_DA.028.png">在上單調(diào)減函數(shù)，所以在上取得最大值，

解得．

當(dāng)在上恒成立，

得在上恒成立，即在上恒成立，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032806004729635918/SYS201503280600525621979599_DA/SYS201503280600525621979599_DA.034.png">在上遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在上取得最小值，

所以，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2.不等式恒成立問(wèn)題．