【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為，．這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形．若，記橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則的取值范圍是_____．

【答案】

【解析】

如圖所示，設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，．（a1，a2，b1，b2＞0，a1＞b1）．根據(jù)△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，|PF1|＝10，可得10+2c＝2a1，10﹣2c＝2a2，可得，于是e1+e2＝e2f（e2），e2＞1．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解：如圖所示，

設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，．（a1，a2，b1，b2＞0，a1＞b1）

∵△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，|PF1|＝10，

∴10+2c＝2a1，10﹣2c＝2a2，

相減可得：2c＝a1﹣a2，

∴，

∴，

∴e1+e2＝e2f（e2），e2＞1．

∴f′（e2）＝110，

∴函數(shù)f（e2）在e2＞1時單調(diào)遞增，

∴f（e2）＞f（1）＝1．

∴e1+e2的取值范圍是．

故答案為：．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)為二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值為12．

（1）求的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)在上的最小值為，求的表達(dá)式及的最小值．

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【題目】已知，，直線的斜率為，直線的斜率為，且.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)，，連接并延長，與軌跡交于另一點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，記與的面積之和為，求的最大值.

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【題目】設(shè)數(shù)列的通項公式是（表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)）.

（1）證明：、、、、都是數(shù)列的項；

（2）是否是數(shù)列的項，證明你的結(jié)論；

（3）證明：有無窮多個2的正整數(shù)冪是數(shù)列的項.

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【題目】有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產(chǎn)卵，科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位是，其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，為表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.（參考數(shù)據(jù)：，，）

（1）若，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位？

（2）若雄鳥的飛行速度為，雌鳥的飛行速度為，那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍？

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【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若，的最大值是，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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【題目】命題：指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)；命題：，使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，其中.

(1)當(dāng)時，若為真命題，求的取值范圍；

(2)當(dāng)時，若且為假命題，求的取值范圍.

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