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(2013•天津)已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準線分別交于A,B兩點,O為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為
3
,則p=( 。
分析:求出雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
的漸近線方程與拋物線y2=2px(p>0)的準線方程,進而求出A,B兩點的坐標,再由雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為
3
,列出方程,由此方程求出p的值.
解答:解:∵雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1

∴雙曲線的漸近線方程是y=±
b
a
x
又拋物線y2=2px(p>0)的準線方程是x=-
p
2
,
故A,B兩點的縱坐標分別是y=±
pb
2a
,雙曲線的離心率為2,所以
c
a
=2
,則
b
a
=
3

A,B兩點的縱坐標分別是y=±
pb
2a
=±
3
p
2

又,△AOB的面積為
3
,x軸是角AOB的角平分線
1
2
×
3
p
2
=
3
,得p=2.
故選C.
點評:本題考查圓錐曲線的共同特征,解題的關鍵是求出雙曲線的漸近線方程,解出A,B兩點的坐標,列出三角形的面積與離心率的關系也是本題的解題關鍵,有一定的運算量,做題時要嚴謹,防運算出錯.
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1
2
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2
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