Question

在曲線y=x³-x上有兩個(gè)點(diǎn)O（0，0），A（2，6），若I是

OA

上的一點(diǎn)，并使得△AOI的面積最大，求I點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，通過導(dǎo)數(shù)與直線的斜率相等，判斷三角形底面積的最大值．

解答： 解：由題意可知K_OA=3，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)我（a，b），則曲線y=x³-x的導(dǎo)數(shù)為：y′=3x²-1，
可得：3a²-1=3，解得：a=±

2 3

3

，
在曲線y=x³-x上有兩個(gè)點(diǎn)O（0，0），A（2，6），若I是

OA

上的一點(diǎn)，并使得△AOI的面積最大，
就是說與直線OA平行的直線與曲線相切時(shí)，三角形的面積最大．
此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)（

2 3

3

，

2 3

9

），（-

2 3

3

，-

2 3

9

）．
I點(diǎn)的坐標(biāo)（

2 3

3

，

2 3

9

），（-

2 3

3

，-

2 3

9

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，三角形嗎的最大值，考查計(jì)算能力．