Question

已知三棱錐A-BCD的每條棱長(zhǎng)都等于1，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)．
（1）求AM與BD成的角的余弦；
（2）求AM與CN成的角的余弦．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間角

分析：（1）取DC中點(diǎn)E，連結(jié)ME，AE，則ME∥BD，∠AME是AM與BD成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出AM與BD成的角的余弦值．
（2）連結(jié)DM，取DM中點(diǎn)F，連結(jié)CF、NF，則∠CNF是AM與CN成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出AM與CN成的角的余弦值．

解答： 解：（1）取DC中點(diǎn)E，連結(jié)ME，AE，
∵M(jìn)是BC中點(diǎn)，∴ME∥BD，
∴∠AME是AM與BD成的角（或所成角的補(bǔ)角），
∵AM=AE=

1- 1 4

=

3

2

，ME=

1

2

，
∴cos∠AME=

AM2+ME2-AE2

2AM•ME

=

3 4 + 1 4 - 3 4

2× 3 2 × 1 2

=

3

6

，
∴AM與BD成的角的余弦值為

3

6

．
（2）連結(jié)DM，取DM中點(diǎn)F，連結(jié)CF、NF，
∵N是AD中點(diǎn)，∴NF∥AM，
∴∠CNF是AM與CN成的角（或所成角的補(bǔ)角），
∵DM=CN=

1- 1 4

=

3

2

，∴NF=

1

2

AM=

3

4

，
CF=

( 3 4 )2+( 1 2 )2

=

7

4

，
∴cos∠CNF=

CN2+NF2-CF2

2×CN×NF

=

3 4 + 3 16 - 7 16

2× 3 2 × 3 4

=

2

3

，
∴AM與CN成的角的余弦值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．