【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,,是上的一點.
(1)求證:平面平面;
(2)若是的中點,,且直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)證明AC⊥PC,AC⊥BC,得到AC⊥平面PBC,然后證明平面EAC⊥平面PBC.
(2)以C為原點,建立空間直角坐標系,求出面PAC的法向量.面EAC的法向量,然后求解二面角的余弦函數(shù)值.
(1)證明:∵PC⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
∴AC⊥PC,AB=2,AD=CD=1,
∴,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC,∵AC平面EAC,
∴平面EAC⊥平面PBC.
(2)以C為原點,建立空間直角坐標系如圖所示,
則C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,﹣1,0),
設(shè)P(0,0,a)(a>0),則E(,,),
∴(1,1,0),(0,0,a)(a>0),
(,,),(1,1,﹣a),
設(shè)(x,y,z)為平面PAC的法向量,
則,可取(1,﹣1,0)
同理平面EAC的法向量(a,﹣a,﹣2),
依題意,設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ,
則sinθ=|cos,|,
解得a=2,或a=1(舍去,此時不滿足),
∴(2,﹣2,﹣2),
∴|cos,|
∴平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為
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【題目】設(shè),定義(,且為常數(shù)),若,,.以下四個命題中為真命題的是__________.
①不存在極值;②若的反函數(shù)為,且函數(shù)與函數(shù)有兩個公共點,則;③若在上是減函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是;④若,則在的曲線上存在兩點,使得過這兩點的切線互相垂直.
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【題目】已知橢圓經(jīng)過點M(﹣2,﹣1),離心率為.過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)試判斷直線PQ的斜率是否為定值,證明你的結(jié)論.
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【題目】已知甲乙兩輛車去同一貨場裝貨物,貨場每次只能給一輛車裝貨物,所以若兩輛車同時到達,則需要有一車等待.已知甲、乙兩車裝貨物需要的時間都為20分鐘,倘若甲、乙兩車都在某1小時內(nèi)到達該貨場,則至少有一輛車需要等待裝貨物的概率是( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,異面直線A1B與B1C1所成的角為60°.
(1)求該三棱柱的體積;
(2)設(shè)D是BB1的中點,求DC1與平面A1BC1所成角的正弦值.
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【題目】《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定:機動車行經(jīng)人行橫道時,應(yīng)當減速慢行;遇行人正在通過人行橫道,應(yīng)當停車讓行,俗稱“禮讓斑馬線”,《中華人民共和國道路交通安全法》 第90條規(guī)定:對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分,罰款50元的處罰.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù):
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
違章駕駛員人數(shù) | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程;
(2)交警從這5個月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機抽查了50人,調(diào)查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關(guān)系,得到如下列聯(lián)表:能否據(jù)此判斷有的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)?
不禮讓斑馬線 | 禮讓斑馬線 | 合計 | |
駕齡不超過1年 | 22 | 8 | 30 |
駕齡1年以上 | 8 | 12 | 20 |
合計 | 30 | 20 | 50 |
參考公式及數(shù)據(jù):
.
(其中)
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【題目】已知橢圓的離心率為,直線與相切于點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于不同的兩點,,與直線相交于(,,,均不重合).證明:為定值.
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【題目】已知橢圓的中心在原點,離心率等于,它的一個短軸端點恰好是拋物線的焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知、是橢圓上的兩點,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點.
①若直線的斜率為,求四邊形面積的最大值;
②當運動時,滿足,試問直線的斜率是否為定值,請說明理由.
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