【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率等于,它的一個(gè)短軸端點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)已知是橢圓上的兩點(diǎn),是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).

①若直線的斜率為,求四邊形面積的最大值;

②當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足,試問(wèn)直線的斜率是否為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)直線的斜率為定值

【解析】試題分析

(1)由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得,再結(jié)合離心率可求得從而可得橢圓的方程.(2)①設(shè)直線方程為,,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后可得,然后由四邊形的特點(diǎn)得,根據(jù)函數(shù)的知識(shí)可得的最大值.②由可得直線的斜率之和為0,設(shè)的方程為,與橢圓方程聯(lián)立消元后可得,同理,然后根據(jù)斜率公式求得直線AB的斜率驗(yàn)證即可.

試題解析:

(1)由題意得拋物線的焦點(diǎn)為,

,

,

∴橢圓的方程為

(2)①由題意設(shè)直線方程為

消去y整理得,

∵直線AB與橢圓交于兩點(diǎn),

,解得

設(shè)

,

,

,

∴當(dāng)時(shí),取得最大,

即四邊形面積的最大值為

②當(dāng)時(shí),直線的斜率之和為0,

設(shè)直線的斜率為,則直線的斜率為,

故直線的方程為

消去y整理得

,

同理

,

,

故直線的斜率為定值

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(2)從春節(jié)期間參與收發(fā)網(wǎng)絡(luò)紅包的手機(jī)用戶中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其年齡低于40歲的概率;

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(Ⅰ)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)的前提下,認(rèn)為對(duì)共享產(chǎn)品的態(tài)度與性別有關(guān)系?

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參考公式 .

臨界值表:

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