Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，判斷并說明函數(shù)的零點個數(shù).若函數(shù)所有零點均在區(qū)間內(nèi)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）存在兩個零點，，且，，詳見解析；的最小值為3

【解析】

（1）函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分 ，三種情況分類討論求解..

（2）當時，，當時，單調(diào)遞增，，，則，故不存在零點；然后從的定義域入手，分，，，四種情況分類討論求解.

（1）的定義域為，

，

當時，，所以在上單調(diào)遞增；

當時，，，所以在上單調(diào)遞增；

當時，令，得，（舍）.

當時，，當，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；

當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）當時，，

當時，單調(diào)遞增，，，則，故不存在零點；

當時，，在上單調(diào)遞減，

所以，，

所以，單調(diào)遞增，

又，，

所以存在唯一，使得.

當時，，，

所以單調(diào)遞減，

又，，

所以存在，使得，

當時，，單調(diào)遞增；

當時，，單調(diào)遞減，

又，，

因此，在上恒成立，故不存在零點.

當時，，所以單調(diào)遞減，

因為，所以，單調(diào)遞減，

又，，

所以存在唯一，使得.

當時，，故不存在零點.

綜上，存在兩個零點，，且，，

因此的最小值為3.