Question

（2012•北京）已知曲線C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R）
（1）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，求m的取值范圍；
（2）設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G．求證：A，G，N三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析：（1）原曲線方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓可得不等式組，即可求得m的取值范圍；
（2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，△=32（2k²-3），解得：k2＞

3

2

，設(shè)N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），MB方程為：y=

kxM+6

xM

x-2，則G(

3xM

kxM+6

，1)，從而可得

AG

=(

3xM

kxM+6

，-1)，

AN

=（x_N，kx_N+2），欲證A，G，N三點(diǎn)共線，只需證

AG

，

AN

共線，利用韋達(dá)定理，可以證明．

解答：（1）解：原曲線方程可化簡得：

x2

8 5-m

+

y2

8 m-2

=1
由題意，曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓可得：

8 5-m ＞ 8 m-2 8 5-m ＞0 8 m-2 ＞0

，解得：

7

2

＜m＜5
（2）證明：由已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，△=32（2k²-3）＞0，解得：k2＞

3

2

由韋達(dá)定理得：xM+xN=-

16k

2k2+1

①，xMxN=

24

2k2+1

，②
設(shè)N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），MB方程為：y=

kxM+6

xM

x-2，則G(

3xM

kxM+6

，1)，
∴

AG

=(

3xM

kxM+6

，-1)，

AN

=（x_N，kx_N+2），
欲證A，G，N三點(diǎn)共線，只需證

AG

，

AN

共線
即

3xM

xMk+6

(xNk+2)=-xN成立，化簡得：（3k+k）x_Mx_N=-6（x_M+x_N）
將①②代入可得等式成立，則A，G，N三點(diǎn)共線得證．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三點(diǎn)共線，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．