Question

（2012•北京）已知函數(shù)f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a、b的值；
（2）當(dāng)a²=4b時(shí)，求函數(shù)f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（-∞，-1）上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，可知切點(diǎn)處的函數(shù)值相等，切點(diǎn)處的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）根據(jù)a²=4b，構(gòu)建函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+

1

4

a2x+1，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）上的最大值．

解答：解：（1）f（x）=ax²+1（a＞0），則f'（x）=2ax，k₁=2a，g（x）=x³+bx，則g′（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）為公共切點(diǎn)，可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：

a=3 b=3

．
（2）由題設(shè)a²=4b，設(shè)h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+

1

4

a2x+1
則h′(x)=3x2+2ax+

1

4

a2，令h'（x）=0，解得：x1=-

a

2

，x2=-

a

6

；
∵a＞0，∴-

a

2

＜-

a

6

，

x	（-∞，- a 2 ）	- a 2	(- a 2 ，- a 6 )	- a 6	(- a 6 ，+∞）
h′（x）	+		-		+
h（x）		極大值		極小值

∴原函數(shù)在（-∞，-

a

2

）單調(diào)遞增，在(-

a

2

，-

a

6

)單調(diào)遞減，在(-

a

6

，+∞）上單調(diào)遞增
①若-1≤-

a

2

，即0＜a≤2時(shí)，最大值為h(-1)=a-

a2

4

；
②若-

a

2

＜-1，即a＞2時(shí)，最大值為h(-

a

2

)=1
綜上所述：當(dāng)a∈（0，2]時(shí)，最大值為h(-1)=a-

a2

4

；當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，最大值為h(-

a

2

)=1．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)函數(shù)．