Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；

（2）直線的極坐標(biāo)方程為，若與的公共點(diǎn)為，且是曲線的中心，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）.

【解析】試題分析：曲線的參數(shù)方程利用平方法消去參數(shù)，得其普通方程，將， 代入普通方程并化簡，可得其極坐標(biāo)方程；（2）將代入極坐標(biāo)方程可得，根據(jù)極徑的幾何意義利用韋達(dá)定理可得，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式及三角形面積公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，得其普通方程為.

將， 代入上式并化簡，得其極坐標(biāo)方程為.

（2）將代入得.

得.

設(shè)， ，則， ，

所以.

又由（1），知，且由（2）知直線的直角坐標(biāo)方程為，所以到的距離是，所以的面積.

【名師點(diǎn)晴】參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式， 等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，本題這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問題．