Question

【題目】橢圓（）的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且。

（1）球橢圓的方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)。是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】（Ⅰ）由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為（0，－b），（0，b）

又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1），且＝－1

于是，解得a＝2，b＝

所以橢圓E方程為.

（Ⅱ）當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1

A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）

聯(lián)立，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0

其判別式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0

所以

從而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]

＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1

＝

＝－

所以，當(dāng)λ＝1時(shí)，－＝－3

此時(shí)， ＝－3為定值

當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD

此時(shí)＝－2－1＝－3

故存在常數(shù)λ＝－1，使得為定值－3.