Question

（2013•永州一模）若兩整數a，b除以同一個整數m，所得余數相同，則稱a，b對模m同余．即當a，b，m∈z時，若=k（k∈z，k≠0），則稱a、b對模m同余，用符號a=b（modm）表示．

（1）若6=b（mod2）且0＜b＜6，則b的所有可能取值為 ；

（2）若a=10（modm）（a＞10，m＞1），滿足條件的a由小到大依次記為a1，a2…an，…，當數列{an}前m﹣1項的和為60（m﹣1）時，則m= ．

 

Answer 1

2，4；10．

【解析】

試題分析：（1）由兩數同余的定義，m是一個正整數，對兩個正整數a、b，若a﹣b是m的倍數，則稱a、b模m同余，我們易得若6=b（mod2），則6﹣b為2的整數倍，則b=6﹣2n，n∈Z，再根據0＜b＜6易得答案．

（2）若a=10（modm）（a＞10，m＞1），由兩數同余的定義得，a=10+mn，n∈N*，又a＞10，m＞1，分別取n=1，2，3，…，m﹣1得數列{an}前m﹣1項10+m，10+2m，10+3m，…，10+m（m﹣1），再根據數列{an}前m﹣1項的和60（m﹣1）結合等差數列的求和公式列出關于m的方程，即可求出m的值．

【解析】
（1）由兩數同余的定義，

m是一個正整數，對兩個正整數a、b，若a﹣b是m的倍數，

則稱a、b模m同余，

我們易得若6=b（mod2），b=6﹣2n，n∈Z，又0＜b＜6，

故b=2，4滿足條件．

（2）若a=10（modm）（a＞10，m＞1），由兩數同余的定義得，

a=10+mn，n∈N*，又a＞10，m＞1，

故a=10+m，10+2m，10+3m，…，10+m（m﹣1）滿足條件．

數列{an}前m﹣1項的和為（m﹣1）（10+m）+（m﹣1）（m﹣2）m=60（m﹣1），

解得m=10．

故答案為：2，4；10．