【題目】已知 m>1 且關(guān)于 x 的不等式 的解集為 [0,4] .
①求 m 的值;
②若 a , b 均為正實(shí)數(shù),且滿足 a+b=m ,求 a2+b2 的最小值.

【答案】【解答】①因?yàn)?m>1 ,不等式 可化為
,即
∵其解集為 [0,4] ,∴ , m=3 .
②由①知 a+b=3 ,
(方法一:利用基本不等式)

,∴ a2+b2 的最小值為 .
(方法二:利用柯西不等式)
,
,∴ a2+b2 的最小值為 .
(方法三:消元法求二次函數(shù)的最值)
∵ a+b=3 ,∴b=3-a ,
,
∴ a2+b2 的最小值為 .
【解析】本題主要考查了二維形式的柯西不等式,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是(1)先利用 求出不等式的解集,再結(jié)合解集的端點(diǎn)值進(jìn)行求解;(2)解法一:根據(jù)兩正數(shù)為定和,兩邊平方,借助 進(jìn)行求解;解法二:構(gòu)造柯西不等式的形式進(jìn)行求解;解法三:消元,將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a 的二次函數(shù)進(jìn)行求解.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二維形式的柯西不等式的相關(guān)知識(shí),掌握二維形式的柯西不等式:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè) 是等差數(shù)列, 是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,且 ,
(1)求數(shù)列 , 的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 試比較 與6的大小.

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【題目】平面α內(nèi)有一以AB為直徑的圓,PA⊥α,點(diǎn)C在圓周上移動(dòng)(不與A,B重合),點(diǎn)D,E分別是A在PC,PB上的射影,則( )
A.∠ACD是二面角A﹣PC﹣B的平面角
B.∠AED是二面角A﹣PB﹣C的平面角
C.∠EDA是二面角A﹣PC﹣B的平面角
D.∠DAE是二面角B﹣PA﹣C的平面角

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【題目】設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1=1,Sn=2Sn1+n﹣2(n≥2),則a2017等于( )
A.22016﹣1
B.22016+1
C.22017﹣1
D.22017+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】①設(shè)三個(gè)正實(shí)數(shù)a , b , c , 滿足 ,求證:ab , c一定是某一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng);
②設(shè)n個(gè)正實(shí)數(shù) a1,a2,...an 滿足不等式 (其中 ),求證: a1,a2,...an 中任何三個(gè)數(shù)都是某一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng).

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【題目】某校田徑隊(duì)共有男運(yùn)動(dòng)員45人,女運(yùn)動(dòng)員36人.若采用分層抽樣的方法在全體運(yùn)動(dòng)員中抽取18人進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試,則抽到的女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為

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【題目】已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a2=6,a3+a4=72.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=an﹣n(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和

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【題目】已知直線l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R).
(1)證明:直線l過(guò)定點(diǎn);
(2)若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限,求k的取值范圍;
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(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1 , y1)向圓引一條切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的點(diǎn)P的坐標(biāo).

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