如圖,A、B分別是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的上、下兩頂點,P是雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1
上在第一象限內(nèi)的一點,直線PA、PB分別交橢圓于C、D點,如果D恰是PB的中點.
(1)求證:無論常數(shù)a、b如何,直線CD的斜率恒為定值;
(2)求雙曲線的離心率,使CD通過橢圓的上焦點.
(1)設P點坐標為(x0,y0),又A、B坐標分別是(0,a)、(0,-a)
而D是PB的中點,∴D點坐標為(
x0
2
y0-a
2
),
把D點坐標代入橢圓方程,得:
(y0-a)2
a2
+
x20
b2
=4

y20
a2
-
x20
b2
=1

由①②解得,y0=2a(y0=-a舍去)x0=
3
b
,∴P點坐標為(
3
b,2a)

kPA=
y0-a
x0
=
a
3
b
,直線PA的方程是y=
a
3
b
x+a與
y2
a2
+
x2
b2
=1
聯(lián)立,解得
C點坐標為(-
3
b
2
a
2
)
,又D點坐標為(
3
2
b,
a
2
)

∴C、D兩點關于y軸對稱,故無論a、b如何變化,都有CDx軸,直線CD的斜率恒為常常0.
(2)當CD過橢圓焦點(0,
a2-b2
)
時,
a2-b2
=
a
2
,∴b=
3
4
a2
,
雙曲線中,c=
a2+b2
=
7
2
a
,
∴雙曲線的離心率e=
c
a
=
7
2
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知點P(4,4),圓C:(x-m)2+y2=5(m<3)與橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
有一個公共點A(3,1),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點,直線PF1與圓C相切.
(1)求m的值;
(2)求橢圓E的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=-
x2
2
與過點M(0,-1)的直線l相交于A、B兩點,O為原點.若OA和OB的斜率之和為1.
(1)求直線l的方程;
(2)求△AOB的面積.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

設雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=4,一條漸近線的傾斜角為60°.
(I)求雙曲線C的方程和離心率;
(Ⅱ)若點P在雙曲線C的右支上,且△PF1F2的周長為16,求點P的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線C的漸近線為y=±
3
x
且過點M(1,
2
).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線y=ax+1與雙曲線C相交于A,B兩點,O為坐標原點,若OA與OB垂直,求a的值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作直線與拋物線交于A、B兩點,以AB為直徑的圓與拋物線的準線的位置關系是( 。
A.相交B.相切
C.相離D.與p的取值相關

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C1
x2
2
+y2=1
和圓C2x2+y2=1,左頂點和下頂點分別為A,B,且F是橢圓C1的右焦點.
(1)若點P是曲線C2上位于第二象限的一點,且△APF的面積為
1
2
+
2
4
,求證:AP⊥OP;
(2)點M和N分別是橢圓C1和圓C2上位于y軸右側(cè)的動點,且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍,求證:直線MN恒過定點.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知定點A(2,2),M在拋物線x2=4y上,M在拋物線準線上的射影是P點,則MP-MA的最大值為( 。
A.1B.
5
C.
7
D.5-2
2

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知直線l與橢圓C:
x2
3
+
y2
2
=1
交于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩不同點,且△OPQ的面積S△OPQ=
6
2
,其中O為坐標原點.
(Ⅰ)證明x12+x22和y12+y22均為定值;
(Ⅱ)設線段PQ的中點為M,求|OM|•|PQ|的最大值;
(Ⅲ)橢圓C上是否存在點D,E,G,使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
?若存在,判斷△DEG的形狀;若不存在,請說明理由.

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同步練習冊答案