已知拋物線y=-
x2
2
與過(guò)點(diǎn)M（0，-1）的直線l相交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)．若OA和OB的斜率之和為1．
（1）求直線l的方程；
（2）求△AOB的面積．
（1）顯然直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y=kx-1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y=kx-1
y=-
x2
2
得x2+2kx-2=0，
∴x1+x2=-2k，x1x2=-2．
∵
y1
x1
+
y2
x2
=1，
∴
kx1-1
x1
+
kx2-1
x2
=2k-
x1+x2
x1x2
=2k-
-2k
-2
=1，解得k=1
所以直線l的方程為y=x-1．
（2）解法1：∵|x1-x2|=
4k2+8
=2
3
，|OM|=1．
∴S△AOB=
1
2
|x1-x2||OM|=
3
．
解法2：∵|AB|=
1+K2
|x1-x2|=
1+K2
4k2+8
=2
6
．
h=
1
2
．
S△AOB=
1
2
|AB|•h=
3
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線（b＞0）的焦點(diǎn)，則b=（）
A．3B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

若直線mx+ny-5=0與圓x2+y2=5沒(méi)有公共點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P（m，n）的一條直線與橢圓
x2
7
+
y2
5
=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　�。�
A．0B．1C．2D．1或2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F（-1，0），離心率為
2
2
，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，P是拋物線C：x2=2y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P且與拋物線交于另一點(diǎn)Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．
（1）若l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，求弦長(zhǎng)|PQ|的最小值；
（2）設(shè)直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0）與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T
①求證：
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)
②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：x2+3y2=3b2（b＞0）．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若b=1，A，B是橢圓C上兩點(diǎn)，且|AB|=
3
，求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

直線l：x-y=0與橢圓
x2
2
+y2=1相交A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC面積的最大值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，A、B分別是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下兩頂點(diǎn)，P是雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線PA、PB分別交橢圓于C、D點(diǎn)，如果D恰是PB的中點(diǎn)．
（1）求證：無(wú)論常數(shù)a、b如何，直線CD的斜率恒為定值；
（2）求雙曲線的離心率，使CD通過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知直線x-y+1=0經(jīng)過(guò)橢圓S：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓S的方程；
（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k．
①若直線PA平分線段MN，求k的值；
②對(duì)任意k＞0，求證：PA⊥PB．

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