【題目】設(shè)f(n)=(1+ n﹣n,其中n為正整數(shù).
(1)求f(1),f(2),f(3)的值;
(2)猜想滿足不等式f(n)<0的正整數(shù)n的范圍,并用數(shù)學歸納法證明你的猜想.

【答案】
(1)解:∵f(n)=(1+ n﹣n,

∴f(1)=1,f(2)= ﹣2= ,f(3)= ﹣3= ﹣3=﹣


(2)解:猜想:n≥3,f(n)=(1+ n﹣n<0,

證明:①當n=3時,f(3)=﹣ <0成立,

②假設(shè)當n=k(n≥3,n∈N+)時猜想正確,即f(k)= ﹣k<0,

<k,

則當n=k+1時,

由于f(k+1)= = (1+ )< (1+

<k(1+ )=k+ <k+1,…(8分)

<k+1,即f(k+1)= ﹣(k+1)<0成立,

由①②可知,對n≥3,f(n)=(n)=(1+ n﹣n<0成立


【解析】(1)由f(n)=(1+ n﹣n,可求得f(1),f(2),f(3)的值;(2)猜想:n≥3,f(n)=(1+ n﹣n<0,再利用數(shù)學歸納法證明即可:①當n=3時,f(3)=﹣ <0成立;②假設(shè)當n=k(n≥3,n∈N+)時猜想正確,即 ﹣k<0,去證明當n=k+1(n≥3,n∈N+)時,f(k+1)= ﹣(k+1)<0也成立即可.

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②{(﹣2)n}是“等方差數(shù)列”;
③若{an}是“等方差數(shù)列”,則數(shù)列{akn}(k∈N* , k為常數(shù))也是“等方差數(shù)列”;
④若{an}既是“等方差數(shù)列”,又是等差數(shù)列,則該數(shù)列是常數(shù)數(shù)列.
其中正確命題的個數(shù)為( )
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B.2
C.3
D.4

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