【題目】如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，是棱的中點(diǎn)，且，．

（1）求證：平面．

（2）求二面角的大�。�

（3）如果是棱的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連結(jié)，由已知數(shù)據(jù)和勾股定理可得，可得，再由線面垂直關(guān)系可得平面；

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由數(shù)量積和垂直關(guān)系可得平面的法向量，又可得是平面的一個(gè)法向量，求解，可得二面角的大小；

（3）由是棱的中點(diǎn)，可設(shè)，，設(shè)直線與平面所成角為，由，求解可得答案．

（1）證明：連結(jié)，

在中，，，

，，

，，

又底面，，

，

平面；

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

是棱的中點(diǎn)，，

，．

設(shè)為平面的法向量，

，即，

令，則，

平面的法向量

平面，

是平面的一個(gè)法向量．

，

二面角 為銳二面角，

二面角的大小為.

（3）解：是棱的中點(diǎn)，

設(shè)，，

設(shè)直線與平面所成角為，

由．

直線與平面所成角的正弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，某市計(jì)劃用若干年時(shí)間更換一萬(wàn)輛燃油型公交車(chē).每更換一輛新車(chē)，則淘汰一輛舊車(chē)，更換的新車(chē)為電力型車(chē)和混合動(dòng)力型車(chē).今年初投入了電力型公交車(chē)120輛，混合動(dòng)力型公交車(chē)300輛，計(jì)劃以后電力型車(chē)每年的投入量比上一年增加，混合動(dòng)力型車(chē)每年比上一年多投入輛.設(shè)，分別為第年投入的電力型公交車(chē)，混合動(dòng)力型公交車(chē)的數(shù)量，設(shè)，分別為年里投入的電力型公交車(chē)，混合動(dòng)力型公交車(chē)的總數(shù)量.

（1）求，，并求年里投入的所有新公交車(chē)的總數(shù)；

（2）該市計(jì)劃用8年的時(shí)間完成全部更換，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知，．

（1）設(shè)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面；

（2）求四棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某手機(jī)廠商在銷(xiāo)售某型號(hào)手機(jī)時(shí)開(kāi)展“手機(jī)碎屏險(xiǎn)”活動(dòng).用戶購(gòu)買(mǎi)該型號(hào)手機(jī)時(shí)可選購(gòu)“手機(jī)碎屏險(xiǎn)”，保費(fèi)為元，若在購(gòu)機(jī)后一年內(nèi)發(fā)生碎屏可免費(fèi)更換一次屏幕，為了合理確定保費(fèi)的值，該手機(jī)廠商進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)后得到下表（其中表示保費(fèi)為元時(shí)愿意購(gòu)買(mǎi)該“手機(jī)碎屏險(xiǎn)”的用戶比例）：

（1）根據(jù)上面的數(shù)據(jù)計(jì)算得，求出關(guān)于的線性回歸方程；

（2）若愿意購(gòu)買(mǎi)該“手機(jī)碎屏險(xiǎn)”的用戶比例超過(guò)，則手機(jī)廠商可以獲利，現(xiàn)從表格中的種保費(fèi)任取種，求這種保費(fèi)至少有一種能使廠商獲利的概率.

附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最小值為-5，則的最大值為（ ）

A. 2B. 3

C. 4D. 5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000名,各年級(jí)男生女生人數(shù)如表: 已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名,抽到的是初二年級(jí)女生的概率是0.19.

初一年級(jí)

初二年級(jí)

初三年級(jí)

女生

373

x

y

男生

377

370

z

(1)求x的值.

(2)現(xiàn)用分層抽樣法在全校抽取48名學(xué)生,問(wèn)應(yīng)在初三年級(jí)學(xué)生中抽取多少名?

(3)已知y≥245,z≥245,求初三年級(jí)女生比男生多的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字，，，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同。隨機(jī)有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為，，.

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的數(shù)字，，不完全相同”的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理（如圖1）．因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用（如圖2）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．因筒車(chē)上盛水筒的運(yùn)動(dòng)具有周期性，可以考慮利用三角函數(shù)模型刻畫(huà)盛水筒（視為質(zhì)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．將筒車(chē)抽象為一個(gè)幾何圖形，建立直角坐標(biāo)系（如圖3）．設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，筒車(chē)上的某個(gè)盛水筒從點(diǎn)P0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P．由筒車(chē)的工作原理可知，這個(gè)盛水筒距離水面的高度H(單位: )，由以下量所決定：筒車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h，筒車(chē)的半徑r，筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω（單位: ），盛水筒的初始位置P0以及所經(jīng)過(guò)的時(shí)間t(單位: )．已知r=3，h=2，筒車(chē)每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)(按逆時(shí)針?lè)较?/span>)1.5圈， 點(diǎn)P0距離水面的高度為3.5，若盛水筒M從點(diǎn)P0開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，則至少需要經(jīng)過(guò)_______就可到達(dá)最高點(diǎn)；若將點(diǎn)距離水面的高度表示為時(shí)間的函數(shù)，則此函數(shù)表達(dá)式為_________．

圖1 圖2 圖3

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