Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：，且an+1（n=1，2…）集合M={an|}中的最小元素記為m.

（1）若a1=20，寫(xiě)出m和a10的值：

（2）若m為偶數(shù)，證明：集合M的所有元素都是偶數(shù)；

（3）證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，集合M是有限集.

Answer 1

【答案】（1）6，22；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用遞推公式依次求出數(shù)列的前10項(xiàng)，推導(dǎo)出集合中的最小元素．．

（2）推導(dǎo)出，當(dāng)時(shí)，或，由為偶數(shù)，得到為偶數(shù)，為偶數(shù)，由此能證明若為偶數(shù)，則集合的所有元素都是偶數(shù)．

（3）推導(dǎo)出，當(dāng)時(shí)，．從而集合．由此能證明當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，集合是有限集．

因?yàn)?/span>數(shù)列滿(mǎn)足：，且

集合中的最小元素記為．

所以，

，

，

，

，

，

，

，

，

所以集合中的最小元素．．

（2）證明：因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足：，且，

集合中的最小元素為偶數(shù)．

所以，當(dāng)時(shí)，或，

因?yàn)?/span>為偶數(shù)，為偶數(shù)，為偶數(shù)，

所以若為偶數(shù)，則集合的所有元素都是偶數(shù)．

（3）證明：因?yàn)?/span>數(shù)列滿(mǎn)足：，且，

集合中的最小元素為偶數(shù)．當(dāng)且僅當(dāng)，

所以，當(dāng)時(shí)，．

得集合．

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，集合是有限集．