Question

假設(shè)函數(shù)g（x）=

x

，f（x）=kx²，其中k為常數(shù)．
（1）計(jì)算g（x）的圖象在點(diǎn)（4，2）處的切線斜率；
（2）求此切線方程；
（3）如果函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2），計(jì)算k的值；
（4）求函數(shù)f（x）的圖象與（2）中的切線的交點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得切線的斜率；
（2）運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（3）運(yùn)用代入法，將點(diǎn)（4，2）代入，解得k；
（4）聯(lián)立切線方程和曲線y=f（x），消去y，解方程，即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：（1）函數(shù)g（x）=

x

的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=

1

2 x

，
則在點(diǎn)（4，2）處的切線斜率為

1

4

；
（2）g（x）在點(diǎn)（4，2）處的切線方程為y-2=

1

4

（x-4），
即為x-4y+4=0；
（3）f（x）=kx²，由函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2），
即有2=16k，解得k=

1

8

；
（4）由

y= 1 8 x2 x-4y+4=0

消去y，可得x²-2x-8=0，
解得x=4或-2，
即有交點(diǎn)為（4，2）或（-2，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及聯(lián)立方程求交點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．