【題目】已知橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成面積為的等腰直角三角形.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓交于點(diǎn)A、B，線段的中點(diǎn)為M，射線MO與橢圓交于點(diǎn)P，點(diǎn)O為的重心，試問：的面積S是否為定值，若是，求出這個(gè)值；若不是，求S的取值范圍.

【答案】（1）；（2）的面積為定值.

【解析】

（1）依題意可得：，解得，可得橢圓的方程.

（2）若直線的斜率不存在，由已知可得，，可求得的面積S；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，直線與橢圓的方程聯(lián)立可得，則，，，由點(diǎn)為的重心，設(shè)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓的方程中得到m與k的關(guān)系，再運(yùn)用三角形的面積公式求得的面積，得出結(jié)論.

（1）依題意得：，解得，所以橢圓的方程為.

（2）若直線的斜率不存在，因?yàn)辄c(diǎn)O為的重心，所以，，

所以的面積.

若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，

即，聯(lián)立化簡得，

則，，

由題意點(diǎn)為的重心，設(shè)，則，，

所以，，代入橢圓，

得，整理得，

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則的面積

.

綜上可得的面積為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某動(dòng)漫影視制作公司長期堅(jiān)持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品，獲得市場(chǎng)和廣大觀眾的一致好評(píng)，同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號(hào)線性相關(guān)）.

年份

年份代號(hào)

年利潤（單位：億元）

（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司年（年份代號(hào)記為）的年利潤；

（Ⅱ）當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤的實(shí)際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計(jì)算出該年利潤的估計(jì)值時(shí)，稱該年為級(jí)利潤年，否則稱為級(jí)利潤年.將（Ⅰ）中預(yù)測(cè)的該公司年的年利潤視作該年利潤的實(shí)際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機(jī)抽取年，求恰有年為級(jí)利潤年的概率.

參考公式：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，在A，B實(shí)驗(yàn)地分別用甲、乙方法培育該品種花苗．為觀測(cè)其生長情況，分別在A，B試驗(yàn)地隨機(jī)抽選各50株，對(duì)每株進(jìn)行綜合評(píng)分，將每株所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評(píng)分為80及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗．

（1）求圖中a的值，并求綜合評(píng)分的中位數(shù)；

（2）用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，若在A，B兩塊實(shí)驗(yàn)地隨機(jī)抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的優(yōu)質(zhì)花苗數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān)．

優(yōu)質(zhì)花苗

非優(yōu)質(zhì)花苗

合計(jì)

甲培育法

20

乙培育法

10

合計(jì)

附：下面的臨界值表僅供參考．

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001

2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828

（參考公式：，其中．）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)A、B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）求證：直線必與x軸交于一定點(diǎn)Q，并求出此定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)Q作直線的垂線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】等邊的邊長為，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且滿足 (如圖(1))，將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連接，(如圖(2)).

(1)求證：平面；

(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為?若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，證明（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且離心率為

(1)求橢圓的方程；

(2)若的角平分線所在的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為為橢圓上的一點(diǎn),當(dāng)面積最大時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校為確定數(shù)學(xué)成績與玩手機(jī)之間的關(guān)系，從全校隨機(jī)抽樣調(diào)查了40名同學(xué)，其中40%的人玩手機(jī)．這40位同學(xué)的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)（百分制）的莖葉圖如圖①所示．?dāng)?shù)學(xué)成績不低于70分為良好，低于70分為一般．

（1）根據(jù)以上資料完成下面的列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績良好與不玩手機(jī)有關(guān)系”．

數(shù)學(xué)成績良好

數(shù)學(xué)成績一般

總計(jì)

不玩手機(jī)

玩手機(jī)

總計(jì)

40

（2）現(xiàn)將40名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分為如下5組：

，其頻率分布直方圖如圖②所示．計(jì)算這40名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)，由莖葉圖得到的真實(shí)值記為，由頻率分布直方圖得到的估計(jì)值記為（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），求與的誤差值．

（3）從這40名同學(xué)數(shù)學(xué)成績高于90分的7人中隨機(jī)選取2人，求至少有一人玩手機(jī)的概率．

附：，

這40名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績總和為2998分．

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面，，且，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）若直線和平面所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.

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