Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面，，且，點為的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）若直線和平面所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）推導出平面，可得出，再由，利用線面垂直的判定定理可得出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結論成立；

（2）取中點，連接，，取中點，連接，由平面，可得出直線和平面所成的角為，計算出、，推導出平面，計算出，計算出點到平面的距離為，進而可得出直線與平面所成角的正弦值為.

（1）證明：平面平面，平面平面，平面，，平面，

又平面，，

又，且平面，平面，，平面，

又平面，平面平面；

（2）取中點，連接、，取中點，連接，

由（1）知平面，平面，，

即為直線和平面所成的角，，

又，，，，

為中點，，

平面平面，平面平面，平面，平面，

平面，，，且，，

，

、分別為、中點，，

又，，

，平面，平面，

平面，，

平面，平面，，平面，且，

在矩形中，且，

、分別為、的中點，且，

四邊形為平行四邊形，，

平面，平面，平面，

點與點到平面距離相等，設點到平面距離為，則，

設直線與平面所成角為，則.

則直線與平面所成角的正弦值.