Question

【題目】如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為和在第一象限的交點(diǎn)，且．

（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與相交于A，B兩點(diǎn)，已知，求取得最大值時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，過(guò)M作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)焦半徑公式可知，再根據(jù)橢圓定義可知，結(jié)合直角和勾股定理，得，所以點(diǎn)，代入拋物線方程得，建立方程求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）和條件得到拋物線，設(shè)直線l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，，再代入的坐標(biāo)表示，得到，利用二次函數(shù)求最值，并得到直線方程.

（Ⅰ）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

橢圓的方程為，半焦距為c．

由已知得點(diǎn)，則．

設(shè)點(diǎn)，過(guò)M作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，

由拋物線的定義，得，則．

根據(jù)橢圓定義，得，，

又因?yàn)?/span>，所以．

所以點(diǎn)，代入拋物線方程得，

從而，解得或．

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．

（Ⅱ）拋物線和的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和這時(shí)或，

滿足的只有拋物線，

設(shè)點(diǎn)，，

由題意知直線l的斜率不等于0，且過(guò)點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為，

由，得，

恒成立，

由韋達(dá)定理得，，

，

當(dāng)時(shí)，取最大值為，

此時(shí)直線l的方程為．