【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線,直線垂直于點(diǎn),線段的垂直平分線交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,且分別交橢圓于,求四邊形面積的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
試題分析:(1)求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),連接,由垂直平分線的性質(zhì)可得,運(yùn)用拋物線的定義,即可得到所求軌跡方程;(2)分類討論:當(dāng)或中的一條與軸垂直而另一條與軸重合時(shí),此時(shí)四邊形面積.當(dāng)直線和的斜率都存在時(shí),不妨設(shè)直線的方程為,則直線的方程為.分別與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,利用弦長(zhǎng)公式可得,.利用四邊形面積即可得到關(guān)于斜率的式子,再利用配方和二次函數(shù)的最值求法,即可得出.
試題解析:解:(1)∵,∴點(diǎn)到定直線:的距離等于它到定點(diǎn)的距離,∴點(diǎn)的軌跡是以為準(zhǔn)線,為焦點(diǎn)的拋物線.
∴點(diǎn)的軌跡的方程為.
(2)當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí),直線的斜率為,,,則直線的斜率為,直線的方程為,聯(lián)立,得.
∴,.
.由于直線的斜率為,用代換上式中的?傻.
∵,∴四邊形的面積.
由于,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào).
易知,當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為零時(shí),四邊形的面積.
綜上,四邊形面積的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的普通方程和的傾斜角;
(2)設(shè)點(diǎn),和交于兩點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}共有2k項(xiàng)(),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足:a1 = 2,an1 = (p 1) Sn 2(n = 1,2,…, 2k1),其中常數(shù)p > 1.
(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)若,數(shù)列{bn }滿足(n = 1,2,…, 2k),求數(shù)列
{bn }的通項(xiàng)公式;
(3)對(duì)于(2)中數(shù)列{bn },求和Tn = .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù),例如:
他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似地,稱圖2中的1,4,9,16,…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是
A. 289 B. 1 024 C. 1 225 D. 1 378
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線的方程;
(Ⅱ)如果存在,使得成立,求滿足上述條件的最大整數(shù);
(Ⅲ)如果對(duì)任意的,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若函數(shù)的圖象與x軸的任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值.
(1)求函數(shù)的解析式,并寫出它的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若,求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),求的最小值;
(2)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)若對(duì)任意恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在2016年6月英國(guó)“脫歐”公投前夕,為了統(tǒng)計(jì)該國(guó)公民是否有“留歐”意愿,該國(guó)某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組隨機(jī)抽查了50名不同年齡層次的公民,調(diào)查統(tǒng)計(jì)他們是贊成“留歐”還是反對(duì)“留歐”.現(xiàn)已得知50人中贊成“留歐”的占60%,統(tǒng)計(jì)情況如下表:
年齡層次 | 贊成“留歐” | 反對(duì)“留歐” | 合計(jì) |
18歲—19歲 | 6 | ||
50歲及50歲以上 | 10 | ||
合計(jì) | 50 |
(1)請(qǐng)補(bǔ)充完整上述列聯(lián)表;
(2)請(qǐng)問(wèn)是否有97.5%的把握認(rèn)為贊成“留歐”與年齡層次有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考公式與數(shù)據(jù):,其中
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】口袋中裝有質(zhì)地大小完全相同的5個(gè)球,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,甲、乙兩人玩一種游戲:甲先摸一個(gè)球,記下編號(hào),放回后乙再摸一個(gè)球,記下編號(hào).如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)就算甲勝,否則算乙勝.
(1)求甲勝且編號(hào)的和為6的事件發(fā)生的概率;
(2)這種游戲規(guī)則公平嗎?說(shuō)明理由.
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