Question

【題目】是雙曲線上一點， 分別是雙曲線的左、右頂點，直線的斜率之積為.

(1)求雙曲線的離心率；

(2)過雙曲線的右焦點且斜率為的直線交雙曲線于兩點， 為坐標(biāo)原點， 為雙曲線上一點，滿足，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：(1)點P(x0，y0)(x0≠±a)在雙曲線＝1上，有＝1， 1分

由題意又有·＝， 2分

可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，則e＝. 4分

(2)聯(lián)立，得4x2－10cx＋35b2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)

則① 6分

設(shè)， ，即

又C為雙曲線上一點，即－5＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2。7分

化簡得：λ2(－5)＋(－5)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2 。9分

又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以－5＝5b2， －5＝5b2

由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2

得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4. 12分