Question

【題目】已知橢圓 的左，右焦點，，上頂點為，，為橢圓上任意一點，且的面積最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若點.為橢圓上的兩個不同的動點，且（為坐標原點），則是否存在常數(shù)，使得點到直線的距離為定值？若存在，求出常數(shù)和這個定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 時，

【解析】

（Ⅰ）結合題目條件得，再由條件的面積最大值為得，結合，聯(lián)立方程組即可求出，從而得到橢圓方程.

（Ⅱ）當直線斜率存在時，設出直線方程，求出原點到直線的距離，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去得到關于的一元二次方程，然后利用韋達定理得到，結合數(shù)量積的坐標運算以及將轉化為，其對任意恒成立，從而得到關于和的方程組，從而求出和；再驗證斜率不存在的情況也符合.

(Ⅰ)由題得， ，解得 ，

橢圓的標準方程為.

(Ⅱ)設 ，，當直線AB的斜率存在時，

設其直線方程為：，

則原點到直線的距離為，

聯(lián)立方程，

化簡得，，

由得，

則，，

即對任意的恒成立，

則 ，，

當直線斜率不存在時，也成立.

故當時，點到直線AB的距離為定值.