Question

已知函數(shù)f（x）=log

2

（a-2^x）+x-2，若f（x）存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程根之間的關(guān)系，將f（x）存在零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程log₂（a-2^x）=2-x有根，結(jié)合對(duì)數(shù)方程和指數(shù)方程的解法，將它轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次方程根的存在性，再根據(jù)二次方程根的個(gè)數(shù)與判別式的關(guān)系及韋達(dá)定理，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式組，解不之即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：若f（x）存在零點(diǎn)，
則方程log₂（a-2^x）=2-x有根
即2^2-x=a-2^x有根，
令2^x=t（t＞0）
則原方程等價(jià)于

4

t

=a-t有正根
即t²-at+4=0有正根，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系t₁t₂=4＞0，
即若方程有正根，必有兩正根，
故有

t1+t2=a＞0 a2-16≥0

∴a≥4．
故答案為：a≥4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，其中根據(jù)指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程的解法，將函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次方程是解答的關(guān)鍵．體現(xiàn)了換元和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．