Question

試證經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知平面平行.

已知:點(diǎn)A平面α.

求證:過A有且只有一個(gè)平面β∥α.

Answer 1

解析:“有且只有”要準(zhǔn)確理解,要先證這樣的平面是存在的,再證它是唯一的,缺一不可.

證明:在平面α內(nèi)任作兩條相交直線a和b,則由Aα,知Aa,Ab.點(diǎn)A和直線a可確定一個(gè)平面M,點(diǎn)A和直線b可確定一個(gè)平面N.在平面M、N內(nèi)過A分別作直線a′∥a、b′∥b,故a′、b′是兩條相交直線,可確定一個(gè)平面β.

∵a′α,aα,a′∥a,∴a′∥α.

同理,b′∥α.

又α′β,b′β,a′∩b′=A,∴β∥α.

∴過點(diǎn)A有一個(gè)平面β∥α.

假設(shè)過A點(diǎn)還有一個(gè)平面γ∥α,

則在平面α內(nèi)取一直線c,Ac,點(diǎn)A、直線c確定一個(gè)平面ρ,由公理2知

β∩ρ=m,γ∩ρ=n,

∴m∥c,n∥c.

又A∈m,A∈n,

這與過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行矛盾,因此假設(shè)不成立,∴平面β只有一個(gè).

∴過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

小結(jié):這種“只有一個(gè)”的問題的證明,常采用反證法.