Question

試證經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知平面平行．

已知：點(diǎn)AÏ 平面α．

求證：過(guò)A有且只有一個(gè)平面β∥α．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：在平面α內(nèi)任作兩條相交直線a和b，則由AÏ α知，AÏ a，AÏ b．點(diǎn)A和直線a可確定一個(gè)平面，點(diǎn)A和直線b可確定一個(gè)平面．在平面、內(nèi)過(guò)A分別作直線，故是兩條相交直線，可確定一個(gè)平面β． ∵，∴．同理． 又，∴β∥α． ∴過(guò)點(diǎn)A有一個(gè)平面β∥α． 假設(shè)過(guò)A點(diǎn)還有一個(gè)平面γ∥α， 則在平面α內(nèi)取一直線c，AÏ ，點(diǎn)A、直線c確定一個(gè)平面ρ，由公理2知： β∩ρ=m，γ∩ρ=n，∴m∥c，n∥c，從而有m∥n．又A∈m，A∈n， 這與過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行相矛盾，因此假設(shè)不成立，∴平面β只有一個(gè)． ∴過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行． “有且只有”要準(zhǔn)確理解，要先證這樣的平面是存在的，再證它是唯一的，兩者缺一不可．