Question

試證：經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面和已知平面平行．

Answer 1

答案：略
解析：

“有且只有”要準確理解．要先證這樣的平面是存在的．再證它是唯一的，缺一不可． 已知：點AÎ 平面α， 求證：過點A有且只有一個平面β∥α． 證明：(存在性)在平面α內(nèi)任作兩條相交直線a和b． 由則知． 點A和直線a可確定一個平面M． 點A和直線b可確定一個平面N． 在平面M、N內(nèi)過A分別作直線∥a，∥b．故，是兩條相交直線． 可確定一個平面β． ∵α，aα，∥a，∴∥α． 同理∥α． 又β，β，∩=A， ∴β∥α． 所以過點A有一個平面β∥α． (唯一性)假設(shè)過點A還有一個平面γ∥α．則在平面α內(nèi)取一直線c，點A，直線c確定一個平面M． 由公理3知β∩M=m，γ∩M=n， ∴m∥c，n∥c． 又AÎ m，AÎ n， 這與過一點有且只有一條直線與已知直線平行，相矛盾． 因此假設(shè)不成立． 所以平面β只有一個． 所以過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行． (1)命題形式的證明通常要寫出已知、求證，然后證明．(2)唯一性的證明常常使用反證法．