Question

試證：經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知平面平行．

Answer 1

答案：略
解析：

“有且只有”要準(zhǔn)確理解．要先證這樣的平面是存在的．再證它是唯一的，缺一不可． 已知：點(diǎn)AÎ 平面α， 求證：過(guò)點(diǎn)A有且只有一個(gè)平面β∥α． 證明：(存在性)在平面α內(nèi)任作兩條相交直線a和b． 由則知． 點(diǎn)A和直線a可確定一個(gè)平面M． 點(diǎn)A和直線b可確定一個(gè)平面N． 在平面M、N內(nèi)過(guò)A分別作直線∥a，∥b．故，是兩條相交直線． 可確定一個(gè)平面β． ∵α，aα，∥a，∴∥α． 同理∥α． 又β，β，∩=A， ∴β∥α． 所以過(guò)點(diǎn)A有一個(gè)平面β∥α． (唯一性)假設(shè)過(guò)點(diǎn)A還有一個(gè)平面γ∥α．則在平面α內(nèi)取一直線c，點(diǎn)A，直線c確定一個(gè)平面M． 由公理3知β∩M=m，γ∩M=n， ∴m∥c，n∥c． 又AÎ m，AÎ n， 這與過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，相矛盾． 因此假設(shè)不成立． 所以平面β只有一個(gè)． 所以過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行． (1)命題形式的證明通常要寫(xiě)出已知、求證，然后證明．(2)唯一性的證明常常使用反證法．