【題目】已知點F1、F2為雙曲線C:x2 =1的左、右焦點,過F2作垂直于x軸的直線,在x軸上方交雙曲線C于點M,∠MF1F2=30°.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為P1、P2 , 求 的值.

【答案】
(1)解:設(shè)F2,M的坐標分別為 ,

因為點M在雙曲線C上,所以 ,即 ,所以 ,

在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°, ,所以

由雙曲線的定義可知:

故雙曲線C的方程為:


(2)解:由條件可知:兩條漸近線分別為

設(shè)雙曲線C上的點Q(x0,y0),設(shè)兩漸近線的夾角為θ,

則點Q到兩條漸近線的距離分別為

因為Q(x0,y0)在雙曲線C: 上,

所以 ,又cosθ=﹣ ,

所以 =﹣


【解析】(1)設(shè)F2 , M的坐標分別為 ,求出|MF2|,Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,求出|MF1|,利用雙曲線的定義,即可求雙曲線C的方程;(2)求出兩條漸近線方程,可得點Q到兩條漸近線的距離,設(shè)兩漸近線的夾角為θ,可得 ,利用向量的數(shù)量積公式,即可求 的值.

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A. =1
B. =1
C. =1
D. =1

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