【題目】已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的菱形,且∠BAD= ,AA1⊥平面ABCD,AA1=1,設(shè)E為CD中點(diǎn)
(1)求證:D1E⊥平面BEC1
(2)點(diǎn)F在線段A1B1上,且AF∥平面BEC1 , 求平面ADF和平面BEC1所成銳角的余弦值.
【答案】
(1)證明:由已知該四棱柱為直四棱柱,且△BCD為等邊三角,BE⊥CD
所以BE⊥平面CDD1C1,而D1E平面CDD1C1,故BE⊥D1E
因?yàn)椤鰿1D1E的三邊長分別為 ,故△C1D1E為等腰直角三角形
所以D1E⊥C1E,結(jié)合D1E⊥BE知:D1E⊥平面BEC1
(2)解:取AB中點(diǎn)G,則由△ABD為等邊三角形
知DG⊥AB,從而DG⊥DC
以DC,DG,DD1為坐標(biāo)軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系
此時(shí) , ,設(shè)
由上面的討論知平面BEC1的法向量為
由于AF平面BEC1,故AF∥平面BEC1
故(λ+1,0,1)(1,0,﹣1)=(λ+1)﹣1=0λ=0,故
設(shè)平面ADF的法向量為 ,
由 知 ,取 ,故
設(shè)平面ADF和平面BEC1所成銳角為θ,則
即平面ADF和平面BEC1所成銳角的余弦值為 .
【解析】(1)推導(dǎo)出BE⊥D1E,D1E⊥C1E,由此能證明D1E⊥平面BEC1 . (2)取AB中點(diǎn)G,則由△ABD為等邊三角形知DG⊥AB,從而DG⊥DC,以DC,DG,DD1為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面ADF和平面BEC1所成銳角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí),掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二階矩陣M有特征值λ=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量 =[ ],并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(﹣1,2)變換成(﹣2,4).
(1)求矩陣M;
(2)求矩陣M的另一個(gè)特征值.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形, 底面, ,過點(diǎn)的平面與棱, , 分別交于點(diǎn), , (, , 三點(diǎn)均不在棱的端點(diǎn)處).
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若平面,求的值;
(Ⅲ)直線是否可能與平面平行?證明你的結(jié)論.
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【題目】已知橢圓:經(jīng)過,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)斜率存在的直線與橢圓交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),,且與圓心為的定圓相切.直線:()與圓交于兩點(diǎn),.求面積的最大值.
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【題目】過點(diǎn)A(3,-1)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線有____條,方程為:_____
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【題目】已知函數(shù)
(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對(duì)稱中心的坐標(biāo)
(II)設(shè),求函數(shù)g(x)在上的最大值,并確定此時(shí)x的值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽,其中兩人比賽,另一人當(dāng)裁判,每局比賽結(jié)束時(shí),負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判,設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為 ,各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立,第1局甲當(dāng)裁判.
(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率;
(2)X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知 是雙曲線 的右焦點(diǎn),過點(diǎn) 作 的一條漸近線的垂線,垂足為 ,線段 與 相交于點(diǎn) ,記點(diǎn) 到 的兩條漸近線的距離之積為 ,若 ,則該雙曲線的離心率是( )
A.
B.2
C. 3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中:
①雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn);
②在平面內(nèi),設(shè)為兩個(gè)定點(diǎn),為動(dòng)點(diǎn),且,其中常數(shù)為正實(shí)數(shù),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓;
③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
④過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn),若,則這樣的直線有且僅有3條.其中真命題的序號(hào)為__________.
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