Question

【題目】已知函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)列，點(diǎn)在軸上的射影是，且 (且)， .

(1)求證： 是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)對任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(3)設(shè)四邊形的面積是，求證： .

Answer 1

【答案】(1) ， ;(2) ;(3) 見解析;

【解析】試題分析：(1)利用等比數(shù)列定義證明;(2) 不等式恒成立，即求的最大值，利用單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，對任意恒成立問題;(3)利用裂項(xiàng)相消法化簡不等式的左側(cè)即可.

試題解析：

(1)解：由 (且)得 (且)

∵，∴，∴，(且)

∴是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.

∴.

∴， .

(2)∵，

∵， ，又，

∴故數(shù)列單調(diào)遞減，(此處也可作差證明數(shù)列單調(diào)遞減)

∴當(dāng)時(shí)， 取得最大值為.

要使對任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，

則須使，即，對任意恒成立，

∴，解得或，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.

(3) ，而，

∴四邊形的面積為

，

∴故.