【題目】設(shè)集合，若X是的子集，把X中所有元素的和稱為X的“容量”（規(guī)定空集的容量為0），若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為的奇（偶）子集．

（1）寫出S4的所有奇子集；

（2）求證：的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等；

（3）求證：當(dāng)n≥3時(shí)，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

【答案】見解析

【解析】（1）.

（2）對于的奇子集，

當(dāng)時(shí)，取；

當(dāng)時(shí)，取，則為的偶子集.

反之，若為的偶子集，

當(dāng)時(shí)，取；

當(dāng)時(shí)，取，則為的奇子集.

的奇子集與偶子集之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，所以的奇子集和偶子集的個(gè)數(shù)相等.

（3）對于任意，當(dāng)時(shí)，含的的子集共有個(gè).

由（2）可知，對每個(gè)數(shù)，在奇子集與偶子集中，所占的個(gè)數(shù)是相等的；

當(dāng)時(shí)，將（2）中的1換成3即可.可知在奇子集與偶子集中所占的個(gè)數(shù)是相等的.

則每個(gè)元素在奇子集與偶子集中所占的個(gè)數(shù)相等.

所以Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)列，點(diǎn)在軸上的射影是，且 (且)， .

(1)求證： 是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)對任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(3)設(shè)四邊形的面積是，求證： .

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【題目】若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )

A．多于4個(gè) B．4個(gè)

C．3個(gè) D．2個(gè)

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【題目】在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角 的余弦值.

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【題目】在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在，分?jǐn)?shù)在以上（含）的同學(xué)獲獎(jiǎng). 按文理科用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖（見下圖）.

（1）求的值，并計(jì)算所抽取樣本的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）填寫下面的列聯(lián)表，能否有超過的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)”？

文科生

理科生

合計(jì)

獲獎(jiǎng)

不獲獎(jiǎng)

合計(jì)

附表及公式：

，其中

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中,角、、所對的邊分別為、、.已知.

（1）求；

（2）若的面積為，周長為 ，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若對任意及任意， ，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)圖象過點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線與直線垂直．

（1）求實(shí)數(shù)，的值；

（2）對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？

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【題目】已知圓： 過橢圓： 的短軸端點(diǎn)， 分別是圓與橢圓上任意兩點(diǎn)，且線段長度的最大值為3.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作圓的一條切線交橢圓于兩點(diǎn)，求的面積的最大值.

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