設(shè)數(shù)列{an} 的前n項和為Sn，滿足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列．
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）求證：數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列；
（3）證明：對一切正整數(shù)n，有++…+＜．

（1），，；（2）詳見解析；（3）詳見解析．

解析試題分析：（1）由，，成等差數(shù)列可得一等式：.為了求出，，，需再列兩個方程．在題設(shè)中，令，，便又得兩個方程，這樣解方程組即可．
（2）要證為等比數(shù)列，需證是一個常數(shù)．為此，需找到與.題設(shè)中是這樣一個關(guān)系式，顯然應(yīng)消去只留，這就要用.
將中的換成得，兩式相減得：，所以．注意這里的大于等于2，所以還需要考慮的情況.
（3）涉及數(shù)列的和的不等式的證明，一般有以下兩種方法，一是先求和后放縮，二是先放縮后求和.
在本題中，應(yīng)首先求出通項公式.由（2）可得．對這樣一個數(shù)列顯然不可能先求和，那么就先放縮.因為，所以，然后采用迭乘或迭代的方法，便可得，右邊是一個等比數(shù)列，便可以求和了.
試題解析：（1）因為，，成等差數(shù)列，所以……………………①
當(dāng)時，，………………………………………………………②
當(dāng)時，，………………………………………………③
所以聯(lián)立①②③解得，，，．
（2）由，得，
兩式相減得，所以．
因為，所以是首項為3，公比為3的等比數(shù)列．
（3）由（2）得，，即．因為，
所以，
所以當(dāng)n≥2時，，，，…….，，兩邊同時相乘得：.
所以．
考點：1、遞推數(shù)列；2、不等式的證明.

練習(xí)冊系列答案
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設(shè)函數(shù)（其中），區(qū)間.
（1）求區(qū)間的長度（注：區(qū)間的長度定義為）；
（2）把區(qū)間的長度記作數(shù)列，令，證明：.

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已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝2－bn.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)設(shè)cn＝·bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，cn＋1<cn..

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已知數(shù)列的前項和為，．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.

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已知數(shù)列的前項和滿足，又，.
（1）求實數(shù)k的值；
（2）問數(shù)列是等比數(shù)列嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；
（3）求出數(shù)列的前項和.

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數(shù)列，滿足.
（1）若是等差數(shù)列，求證：為等差數(shù)列；
（2）若，求數(shù)列的前項和.

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設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為Dn，記Dn內(nèi) 的整點個數(shù)為an(n∈N*)(整點即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)．
(1) 求證：數(shù)列{an}的通項公式是an＝3n(n∈N*)．
(2) 記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Tn＝．若對于一切的正整數(shù)n，總有Tn≤m，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足,其中N*.
(Ⅰ)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項公式；
(Ⅱ)設(shè)，數(shù)列的前項和為,是否存在正整數(shù),使得對于N*恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

若數(shù)列的前項和為，對任意正整數(shù)都有，記．
（1）求,的值；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）若求證：對任意．

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