Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．給出下列四個(gè)集合：
①M(fèi)={（x，y）|y=

1

x

}；       
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③M={（x，y）|y=log₂x}；     
④M={（x，y）|y=e^x-2}．
其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：新定義,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用數(shù)形結(jié)合的方法解決，根據(jù)題意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，就是在函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)A，得直線OA，過(guò)原點(diǎn)與OA垂直的直線OB，若OB總與函數(shù)圖象相交即可．

解答： 解：由題意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}滿足，對(duì)于任意A（x₁，y₁）∈M，存在B（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，因此

OA

⊥

OB

．所以，若M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，那么在M圖象上任取一點(diǎn)A，過(guò)原點(diǎn)與直線OA垂直的直線OB總與函數(shù)圖象相交于點(diǎn)B．
對(duì)于①M(fèi)={（x，y）|y=

1

x

}，其圖象是過(guò)一、三象限的雙曲線，做第一象限的角平分線與雙曲線交于點(diǎn)A，與OA垂直的直線是二、四象限的角平分線，顯然與雙曲線沒有公共點(diǎn)．所以對(duì)于點(diǎn)A，在圖象上不存在點(diǎn)B，使得OB⊥OA，所以①不符合題意；
對(duì)于②M={（x，y）|y=sinx+1}，畫出函數(shù)圖象，在圖象上任取一點(diǎn)A，連OA，過(guò)原點(diǎn)作直線OA的垂線OB，因?yàn)閥=sinx+1的圖象沿x軸向左向右無(wú)限延展，且與x軸相切，因此直線OB總會(huì)與y=sinx+1的圖象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，故②符合；
對(duì)于③M={（x，y）|y=log₂x}，對(duì)于函數(shù)y=log₂x，過(guò)原點(diǎn)做出其圖象的切線OT（切點(diǎn)T在第一象限），則過(guò)切點(diǎn)T做OT的垂線，則垂線必不過(guò)原點(diǎn)，所以對(duì)切點(diǎn)T，不存在點(diǎn)M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log₂x}不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；故③不符合題意；
對(duì)于④M={（x，y）|y=e^x-2}，其圖象過(guò)點(diǎn)（0，-1），且向右向上無(wú)限延展，向左向下無(wú)限延展，所以，據(jù)圖可知，在圖象上任取一點(diǎn)A，連OA，過(guò)原點(diǎn)作OA的垂線OB必與y=e^x-2的圖象相交，即一定存在點(diǎn)B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=e^x-2}是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：這種類型的題目應(yīng)先弄清所給信息要表達(dá)的幾何意義，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何問(wèn)題，然后借助于函數(shù)的圖象解決．